operasi hitung

OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT

Penjumlahan
Definisi

Jika a dan b adalah banyaknya anggota himpunan A dan B sedangkan AB =
(saling lepas). Maka : a + b = n (AB)

Jika a + b = c, mka a = bilangan yang ditambah
b = penambah
c = jumlah
1. Metode Penjumlahan
a. Penjumlahan dengan mistar sederhana


b. Penjumlahan bilangan bulat tanpa alat bantu
6 + 10 = 10 + 6 = 16
7 + 8 = 8 + 7 = 15
a + b = b + a


(-8) + (-2) = -(8 + 2) = -10
(-6) + (-10) = -(6 + 10) = -(16)
(-a) + (-b) = –( a + b)
Contoh :
Jika a dan b adalah bilangan bulat positif, bagaimana kita menyelesaikan ( – a ) + ( -b ) ?
Penyelesaian :
Misalkan c adalah bilangan bulat yang menyatakan ( – a ) + ( -b ), yaitu
c = ( – a ) + ( -b ) maka c + b = ( – a ) + ( -b ) + b
c + b = ( – a ) + ( ( -b ) + b )
c + b = ( – a ) + 0
( c + b ) + a = ( – a ) + a
( c + b ) + a = 0
c + ( b + a ) = 0
c + ( a + b ) = 0
c +( a + b ) + (- (a + b)) = – ( a +b)
c + (( a + b ) + (- (a + b) ) = – (a + b)
c + 0 = – ( a + b)
c = – ( a + b)
Karena c = ( – a ) + ( -b ) maka ( -a ) + ( – b ) = – ( a + b). Jadi, jika a dan b bilangan bulat positif, maka ( -a ) + ( – b ) = – ( a + b).
(i)
6 + (-8) = (-8) + 6 = -(8 – 6) = -2
(-10) + 4 = -(10 – 4) = -6
dengan


(-7) + 7 = 7 + (-7) = 0
8 + (-8) = 8 – 8 = 0

dengan


8 + (-2) = (-2) + 8 = 8 – 2 = 6
10 + (-3) = (-3) + 10 = 10 – 3 = 7

dengan


Invers jumlah atau lawan suatu bilangan secara umum dapat dituliskan :
Lawan (invers jumlah) dari bilangan a adalah (-a)
Lawan (invers jumlah) dari bilangan (-a) adalah a
Lawan dari bilangan bulat a adalah (-a) sedemikina sehingga

2. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat yaitu :
a. Sifat tertutup
Perhatikan contoh-contoh di bawah ini :
1) 8 + (-3) = 5 8 bilangan bulat, (-3) bilangan bulat, dan
ternyata 8 + (-3) = 5 juga bilangan bulat.
2) (-3) + 7 = 4 (-3) pada bilangan bulat, 7 bilangan bulat, dan
ternyata (-3) + 7 = 4 juga bilangan bulat.
3) (-6) + (-9) = -15 (-16) bilangan bulat, (-9) bilangan bulat, dan
ternyata (-6) + (-9) = -15 juga bilangan bulat.
Dari contoh di atas dapat dikatakan jika sembarang bilangan bulat bila dijumlahkan menghasilkan bilangan bulat juga maka bilangan bulat tersebut bersifat tertutup.
b. Sifat komutatif
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b selalu berlaku :


Dalam sifat ini jumlah bilangan tidak berubah jika tertambah dan penambahan ditukarkan. Buktinya dalam himpuan berlaku AB= B A.
c. Sifat asosiatif
Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku :


Buktinya dalam himpunan berlaku (AB)C = A(BA).
Contoh 1 :
Tunjukkan bahwa a + b + c + d + e + f = a + (b + c + d) + (e + f)
Bukti : a + b + c + d + e + f = (a + b + c + d + e) + f (definisi)
= {a + (b + c + d + e)} + f (definisi)
= [a + {(b + c + d) + e}] + f (assosiatif)
= [a + (b + c + d)] + e + f (assosiatif)
= a + (b + c + d) + (e + f) (assosiatif)
Contoh 2 :
Hitunglah 352 + 635
Jawab : 352 + 635 = (300 + 50 + 2) + (600 + 30 + 5)
= (300 + 600) + (50+ 30) + (5 + 2)
= 900 + 80 + 7
= 987
d. Aditif yaitu jika a, b, c R dan a = b maka
a + 0 = b + 0.
e. Penghapusan yaitu jika a, b, c R dan a + c = b + c maka
a = b.
f. Ketidaksamaan
i. Jika a, b R dan a < b jika dan hanya jika terdapat cR sehingga berlaku a + c = b. ii. Jika a, b R dan a > b jika dan hanya jika terdapat cR sehingga berlaku
a = b + c.
iii. i dan ii benar untuk c0
g. Aditif ketidaksamaan
Jika a, b, c R dan a < b maka
a + c < b + c.
Bukti: a < b a + d = b
(a + d) + c = b + c
a + (d + c) = b + c
a + (c + d) = b + c
(a + c) + d = b + c
a + c < b + c
h. Penghapusan Ketidaksamaan
Jika a, b, c R dan a + c < b + c maka a < b
Bukti: a + c < b + c(a + c) + d = b + c
a + (c + d) = b + c
a + (d + c) = b + c
(a + c) + d = b + c
a + d = b
a < b
Perkalian
Definisi 1 :

a b = b + b + b + ……+b
a suku

Perkalian a dan b (a b) adalah penjumlahan berganda yang mempunyai a suku dan tiap-tiap sukunya adalah b.
a b = c: maka a = pengali
b = bilangan yang dikalikan
c = hasil kali
Contoh : 6 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7
Definisi 2 :

jika a dan b merupakan banyaknya anggota himpunan A dan B,
maka a b = n(A B)

Definisi 3 :

a b adalah banyaknya anggota gabungan a himpunan yang masing-masing saling lepas dan mempunyai b anggota. Jadi, a x b = n (A1 A2 A3…… Aa)
dimana n(A1) = n(A2) = n(A3) =…= n(An) = b


Definisi 4 :
(digunakan di sekolah dasar) yaitu dengan menggunakan pembilang loncat.



Contoh :
3 x 4 = 12, hal ini dapat diragakan sebagai berikut:
15
14
12
13
10
11
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0


Sifat-sifat Perkalian.
1. Tertutup yaitu jika a, bR, maka a b= c, dimana cR.
2. Komutatif
a b = b a
Bukti : n (H1 H2…. Ha) = n (K1 K2…. Kb)
Dimana : n (H1) = n (H1) =…. = n (Ha) = b dan n (K1) = n (K1) =…. = n (Kb) = a
3. Asosiatif
(a b) c = a (b c)
Bukti : (a b) c = (a b) + (a b) + (a b) + ……+(a b)
a suku
b-suku
b-suku
b-suku
= (c + c + …+ c) + (c + c + …+ c) +……+(c + c + …+ c)

a kelompok yang masing-masing mempunyai b-suku

(a x b) suku
= c + c + c + ….+ c + c

= (a x b) x c
Contoh : 28 x 25 = (7 x 4) x 25
= 7 x (4 x 25)
= 7 x 100
= 700
4. Distributif
a (b + c) = (a b) + (b c)


Bukti : a (b + c) = (b + c) + (b + c) + (b + c) + ……+ (b + c)
a suku
a-suku
a-suku
= b + b + b + …+ b + c + c + c + … + c

= (a b) + (a c)
5. Jika a, b, cR dan a = b, maka ac = bc, ini berlaku untuk c0.
6. Jika a, b, cR dan a < b, maka ac < bc, ini tidak berlaku untuk c = 0 dan c < 0.
Contoh :
Selesaikanlah perkalian di bawah ini dengan cara yang paling mudah :
a.
b.
Jawab :
a. = (komutatif)
= (assosiatif)
=
= 27600
b. = (komutatif)
= (assosiatif)
=
= 135000
Untuk sembarang bilangan cacah a,b dan c selalu berlaku:
(1) (distributif kiri)
(2) (distributif kanan)
Sifat ini disebut sifat distributif (penyebaran) perkalian terhadap penjumlahan.
Untuk sembarang bilangan cacah a, b dan c selalu berlaku:
(1) (distributif kiri)
(2) (distributif kanan)
Sifat ini disebut sifat distributif (penyebaran) perkalian terhadap pengurangan.



Contoh :
Hitunglah:
a. 1392 98 = ……
b. 8375 100001 = ……
Jawab :
Untuk menjawab kedua soal di atas, kita menggunakan sifat distributive yaitu
a. 1392 98 = 1392 (100 – 2)
= (1392 100) – (1392 2)
= 139200 – 2784
= 136416
b. 8375 x 100001 = 8375 (10000 + 1)
= (8375 100000) + (8375 1)
= 837500000 + 8375
= 837508375
Pemangkatan
Definisi :
b-faktor
ab = a x a x a x …x a

ab dibaca “a dipangkatkan b” atau disingkat “ a pangkat b”.
Jika ab = c maka a = bilangan pokok
b = pangkat atau eksponen
c = hasil perpangkatan
Sifat-sifat :
1. Distributif terhadap perkalian
(a b)p = ap bp
p-faktor
Bukti: (a b)p = (a b) (a b) … (a b)

p-faktor
p-faktor
= (a a a … a) (b b b … b)

= ap bp


2. Distributif terhadap pembagian
(a : b)p = ap : bp
3. Sifat pangkat
ap bq = ap+q



q-faktor
p-faktor
Bukti: ap bq = (a a a … a) (a a a … a)

(p + q) faktor
= a a a … a

= ap+q
4. Perpangkatan berganda
(ap)q = apq